Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

Steven T. Dougherty; Joe Gildea; Adrian Korban; Abidin Kaya

doi:10.3934/amc.2020037

Article Contents

2020, Volume 14, Issue 4: 677-702. Doi: 10.3934/amc.2020037

This issue Previous Article Three parameters of Boolean functions related to their constancy on affine spaces Next Article Speeding up regular elliptic curve scalar multiplication without precomputation

Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

1.
Department of Mathematics, University of Scranton, Scranton, PA 18510, USA
2.
Department of Mathematical and Physical Sciences, University of Chester, Thornton Science Park, Pool Ln, Chester CH2 4NU, England
3.
Department of Mathematics Education, Sampoerna University, 12780, Jakarta, Indonesia

^* Corresponding author: Adrian Korban
^* Corresponding author: Adrian Korban

Received: November 30, 2018

Revised: August 31, 2019

Early access: November 2019

Published: November 2020

Abstract Full Text(HTML) Figure(0) / Table(15) Related Papers Cited by

Abstract

We describe eight composite constructions from group rings where the orders of the groups are 4 and 8, which are then applied to find self-dual codes of length 16 over $ \mathbb{F}_4 $. These codes have binary images with parameters $ [32,16,8] $ or $ [32,16,6] $. These are lifted to codes over $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $, to obtain codes with Gray images of extremal self-dual binary codes of length 64. Finally, we use a building-up method over $ \mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2 $ to obtain new extremal binary self-dual codes of length 68. We construct 11 new codes via the building-up method and 2 new codes by considering possible neighbors.

Keywords:

Mathematics Subject Classification: Primary: 58F15, 58F17; Secondary: 53C35.

Citation:

Full Text(HTML)

Table 1. Theorem 3.1 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,0) $	$ (1,1) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega+1,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (0,0) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (\omega,0) $	$ (0,\omega+1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $	$ (0,0) $	$ (1,1) $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega,0) $	$ (\omega,1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $
$ C_4 $	$ (0,0) $	$ (1,1) $	$ (\omega,0) $	$ (\omega+1,0) $	$ (0,\omega) $	$ (0,\omega+1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^9 3^25 $
$ C_5 $	$ (0,1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (0,1) $	$ (\omega,\omega) $	$ (\omega,0) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^73 $
$ C_6 $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (0,1) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (\omega+1,0) $	$ (1,\omega+1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^{11}3 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 2. The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images

code		$ r_{A_1} $	$ r_{B_1} $	$ r_{A_2} $	$ r_{B_2} $	$ r_{A_3} $	$ r_{B_3} $	$ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $	$ \|Aut(C)\| $
$ I_{1} $	$ C_5 $	$ (z_4,a_3) $	$ (b_1,c_2) $	$ (z_3,a_1) $	$ (b_2,b_1) $	$ (b_1,z_3) $	$ (a_1,b_2) $	$ 8 $	$ 2^4 $
$ I_{2} $	$ C_5 $	$ (z_3,a_1) $	$ (b_3,c_1) $	$ (z_2,a_3) $	$ (b_4,b_3) $	$ (b_3,z_2) $	$ (a_3,b_4) $	$ 8 $	$ 2^5 $
$ I_3 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_2,c_2) $	$ (z_4,z_2) $	$ (c_1,b_1) $	$ (b_1,z_4) $	$ (z_2,c_1) $	$ 12 $	$ 2^4 $
$ I_4 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,c_3) $	$ (z_2,z_4) $	$ (c_1,b_2) $	$ (b_2,z_2) $	$ (z_4,c_1) $	$ 24 $	$ 2^4 $
$ I_5 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_4,c_4) $	$ (z_2,z_4) $	$ (c_2,b_2) $	$ (b_2,z_2) $	$ (z_4,c_2) $	$ 24 $	$ 2^5 $
$ I_6 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,c_3) $	$ (z_4,z_2) $	$ (c_2,b_2) $	$ (b_2,z_4) $	$ (z_2,c_2) $	$ 28 $	$ 2^4 $
$ I_7 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_4,c_4) $	$ (z_2,z_3) $	$ (c_2,b_1) $	$ (b_1,z_2) $	$ (z_3,c_2) $	$ 32 $	$ 2^5 $
$ I_8 $	$ C_2 $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_4,c_4) $	$ (z_3,z_4) $	$ (c_2,b_4) $	$ (b_4,z_3) $	$ (z_4,c_2) $	$ 32 $	$ 2^6 $
$ I_{9} $	$ C_5 $	$ (z_2,a_1) $	$ (b_1,c_2) $	$ (z_4,a_1) $	$ (b_4,b_4) $	$ (b_4,z_4) $	$ (a_1,b_4) $	$ 40 $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 3. Theorem 3.2 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,0) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega+1,1) $	$ (1,1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,1) $	$ (1,0) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (\omega+1,1) $	$ (\omega,1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_3 $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (\omega,0) $	$ (\omega,1) $	$ (1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ [32,16,8]_{I} $	$ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (0,\omega+1) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (\omega+1,0) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_5 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega,\omega) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $
$ C_6 $	$ (0,1) $	$ (1,0) $	$ (\omega,0) $	$ (\omega,1) $	$ (1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^6 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 4. The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images

code		$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_B{_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $	$ \|Aut(C)\| $
$ J_1 $	$ C_6 $	$ (z_2,a_1) $	$ (a_1,z_2) $	$ (b_1,z_4) $	$ (b_1,a_2) $	$ (a_2,b_1) $	$ (z_4,b_1) $	$ 0 $	$ 2^6 $
$ J_2 $	$ C_6 $	$ (z_4,a_3) $	$ (a_3,z_4) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 4 $	$ 2^5 $
$ J_3 $	$ C_6 $	$ (z_3,a_1) $	$ (a_1,z_3) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 12 $	$ 2^5 $
$ J_4 $	$ C_2 $	$ (z_4,a_1) $	$ (a_1,z_4) $	$ (a_3,b_4) $	$ (a_3,c_2) $	$ (c_2,a_3) $	$ (b_4,a_3) $	$ 24 $	$ 2^5 $
$ J_5 $	$ C_3 $	$ (b_1,c_2) $	$ (c_2,b_1) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 28 $	$ 2^5 $
$ J_6 $	$ C_3 $	$ (b_2,c_1) $	$ (c_1,b_2) $	$ (b_1,z_2) $	$ (b_1,a_3) $	$ (a_3,b_1) $	$ (z_2,b_1) $	$ 44 $	$ 2^5 $
$ J_7 $	$ C_3 $	$ (b_2,c_4) $	$ (c_4,b_2) $	$ (b_1,z_4) $	$ (b_1,a_2) $	$ (a_2,b_1) $	$ (z_4,b_1) $	$ 48 $	$ 2^5 $
$ J_8 $	$ C_3 $	$ (b_1,c_3) $	$ (c_3,b_1) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 52 $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 5. Theorem 3.3 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,0) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_3 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 6. Theorem 3.4 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ \psi_{ \mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ (0,\omega+1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_3 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 7. Theorem 3.5 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ r_{A_{4}} $	$ r_{B_{4}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (\omega+1,1) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (\omega+1,1) $	$ (0,\omega) $	$ (0,0) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,0) $	$ (1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (0,\omega+1) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ (1,0) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^53 \cdot 5 \cdot 31 $
$ C_3 $	$ (0,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,0) $	$ (\omega+1,1) $	$ (1,1) $	$ (\omega+1,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_4 $	$ (0,\omega) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (\omega,\omega) $	$ (\omega+1,1) $	$ (0,\omega+1) $	$ (\omega,\omega) $	$ [32,16,8]_{I} $	$ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_5 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,0) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,0) $	$ (0,\omega) $	$ (0,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_6 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (1,1) $	$ (0,\omega) $	$ (0,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $
$ C_7 $	$ (0,0) $	$ (1,\omega) $	$ (1,0) $	$ (\omega,1) $	$ (1,1) $	$ (\omega,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^6 $
$ C_{8} $	$ (0,0) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (\omega,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ (1,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^33 $
$ C_{9} $	$ (0,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (\omega+1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 8. The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images

code		$ r_{A_1} $	$ r_{B_1} $	$ r_{A_2} $	$ r_{B_2} $	$ r_{A_3} $	$ r_{B_3} $	$ r_{A_4} $	$ r_{B_4} $	$ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $	$ \|Aut(C)\| $
$ K_{1} $	$ C_2 $	$ (z_1,z_2) $	$ (a_3,b_1) $	$ (z_2,b_1) $	$ (c_1,c_4) $	$ (z_2,c_4) $	$ (c_1,b_1) $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,z_2) $	$ 0 $	$ 2^5 $
$ K_{2} $	$ C_3 $	$ (z_1,a_1) $	$ (a_3,b_1) $	$ (a_3,z_2) $	$ (c_2,a_2) $	$ (a_3,a_2) $	$ (c_2,z_2) $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,a_1) $	$ 0 $	$ 2^4 $
$ K_{3} $	$ C_{9} $	$ (z_1,a_1) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_1,b_1) $	$ (c_2,c_4) $	$ (a_1,c_4) $	$ (c_2,b_1) $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_3,a_1) $	$ 0 $	$ 2^5 $
$ K_{4} $	$ C_7 $	$ (z_1,z_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ (a_1,z_3) $	$ (b_2,a_4) $	$ (a_1,a_4) $	$ (b_2,z_3) $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_1,z_1) $	$ 0 $	$ 2^4 $
$ K_{5} $	$ C_4 $	$ (z_2,b_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_2,a_2) $	$ (c_2,b_4) $	$ (b_2,b_4) $	$ (c_2a_2) $	$ (z_2,c_2) $	$ (b_1,b_2) $	$ 0 $	$ 2^6 $
$ K_{6} $	$ C_4 $	$ (z_2,b_1) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_2,a_1) $	$ (c_1,b_2) $	$ (b_2,b_2) $	$ (c_1,a_1) $	$ (z_2,c_4) $	$ (b_2,b_1) $	$ 4 $	$ 2^4 $
$ K_{7} $	$ C_7 $	$ (z_4,z_1) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_3,z_4) $	$ (b_4,a_4) $	$ (a_3,a_4) $	$ (b_4,z_4) $	$ (z_4,b_2) $	$ (a_3,z_1) $	$ 4 $	$ 2^5 $
$ K_8 $	$ C_1 $	$ (z_1,z_2) $	$ (z_3,b_1) $	$ (c_1,a_1) $	$ (c_4,b_4) $	$ (c_1,b_4) $	$ (c_4,a_1) $	$ (z_1,b_1) $	$ (z_3,z_2) $	$ 8 $	$ 2^5 $
$ K_{9} $	$ C_1 $	$ (z_2,z_4) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_1,a_3) $	$ (c_2,b_4) $	$ (c_1,b_4) $	$ (c_2,a_3) $	$ (z_2,b_2) $	$ (z_3,z_4) $	$ 8 $	$ 2^4 $
$ K_{10} $	$ C_2 $	$ (z_1,z_2) $	$ (z_3,b_1) $	$ (z_2,b_1) $	$ (c_4,c_3) $	$ (z_2,c_3) $	$ (c_4,b_1) $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,z_2) $	$ 12 $	$ 2^4 $
$ K_{11} $	$ C_4 $	$ (z_4,b_1) $	$ (b_1,c_4) $	$ (b_1,a_3) $	$ (c_4,b_4) $	$ (b_1,b_4) $	$ (c_4,a_3) $	$ (z_4,c_4) $	$ (b_1,b_1) $	$ 12 $	$ 2^5 $
$ K_{12} $	$ C_1 $	$ (z_1,z_1) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_1,a_3) $	$ (c_4,b_4) $	$ (c_1,b_4) $	$ (c_4,a_3) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_3,z_1) $	$ 16 $	$ 2^6 $
$ K_{13} $	$ C_1 $	$ (z_1,z_3) $	$ (z_4,b_2) $	$ (c_1,a_1) $	$ (c_2,b_2) $	$ (c_1,b_2) $	$ (c_2,a_1) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_4,z_3) $	$ 16 $	$ 2^4 $
$ K_{14} $	$ C_1 $	$ (z_1,z_3) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_2,a_1) $	$ (c_3,b_3) $	$ (c_2,b_3) $	$ (c_3,a_1) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_3,z_3) $	$ 16 $	$ 2^5 $
$ K_{15} $	$ C_2 $	$ (z_2,z_2) $	$ (a_1,b_1) $	$ (z_3,b_1) $	$ (c_2,c_4) $	$ (z_3,z_4) $	$ (c_2,b_1) $	$ (z_2,b_1) $	$ (a_1,z_2) $	$ 20 $	$ 2^4 $
$ K_{16} $	$ C_3 $	$ (z_2,a_1) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_3,z_2) $	$ (c_4,a_4) $	$ (a_3,a_4) $	$ (c_4,z_2) $	$ (z_2,b_2) $	$ (a_3,a_1) $	$ 20 $	$ 2^5 $
$ K_{17} $	$ C_1 $	$ (z_1,z_2) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_1,a_3) $	$ (c_4,b_2) $	$ (c_1,b_2) $	$ (c_4,a_3) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_3,z_2) $	$ 24 $	$ 2^5 $
$ K_{18} $	$ C_1 $	$ (z_2,z_2) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_1,a_1) $	$ (c_2,b_1) $	$ (c_1,b_1) $	$ (c_2,a_1) $	$ (z_2,b_2) $	$ (z_3,z_2) $	$ 24 $	$ 2^4 $
$ K_{19} $	$ C_2 $	$ (z_2,z_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ (z_4,b_2) $	$ (c_1,c_3) $	$ (z_4,c_3) $	$ (c_1,b_2) $	$ (z_2,b_2) $	$ (a_1,z_1) $	$ 28 $	$ 2^4 $
$ K_{20} $	$ C_4 $	$ (z_1,b_1) $	$ (b_2,c_2) $	$ (b_1,a_4) $	$ (c_2,b_2) $	$ (b_1,b_2) $	$ (c_2,a_4) $	$ (z_1,c_2) $	$ (b_2,b_1) $	$ 28 $	$ 2^5 $
$ K_{21} $	$ C_1 $	$ (z_1,z_2) $	$ (z_3,b_2) $	$ (c_1,a_1) $	$ (c_4,b_3) $	$ (z_1,b_3) $	$ (a_4,a_1) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_3,z_2) $	$ 32 $	$ 2^5 $
$ K_{22} $	$ C_4 $	$ (z_4,b_2) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_2,a_1) $	$ (c_3,b_1) $	$ (b_2,b_1) $	$ (c_3,a_1) $	$ (z_4,c_1) $	$ (b_1,b_2) $	$ 32 $	$ 2^4 $
$ K_{23} $	$ C_7 $	$ (z_1,z_1) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_1,z_4) $	$ (b_1,a_3) $	$ (a_1,a_3) $	$ (b_1,z_4) $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_3,z_1) $	$ 36 $	$ 2^4 $
$ K_{24} $	$ C_4 $	$ (z_3,b_1) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_1,a_4) $	$ (c_4,b_3) $	$ (b_1,b_3) $	$ (c_4,a_4) $	$ (z_3,c_4) $	$ (b_2,b_1) $	$ 36 $	$ 2^5 $
$ K_{25} $	$ C_5 $	$ (z_1,z_4) $	$ (z_4,b_2) $	$ (a_1,z_2) $	$ (a_2,c_1) $	$ (a_1,c_1) $	$ (a_2,z_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ (z_4,z_4) $	$ 40 $	$ 2^5 $
$ K_{26} $	$ C_2 $	$ (z_4,z_1) $	$ (a_1,b_1) $	$ (z_1,b_2) $	$ (c_2,c_1) $	$ (z_1,c_1) $	$ (c_2,b_2) $	$ (z_4,b_1) $	$ (a_1,z_1) $	$ 44 $	$ 2^43 $
$ K_{27} $	$ C_4 $	$ (z_2,b_2) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_2,a_3) $	$ (c_1,b_1) $	$ (b_2,b_1) $	$ (c_1,a_3) $	$ (z_2,c_1) $	$ (b_1,b_2) $	$ 44 $	$ 2^5 $
$ K_{28} $	$ C_4 $	$ (z_4,b_2) $	$ (b_1,c_4) $	$ (b_2,a_2) $	$ (c_4,b_1) $	$ (b_2,b_1) $	$ (c_4,a_2) $	$ (z_4,c_4) $	$ (b_1,b_2) $	$ 48 $	$ 2^5 $
$ K_{29} $	$ C_4 $	$ (z_1,b_1) $	$ (b_2,c_3) $	$ (b_1,a_4) $	$ (c_3,b_2) $	$ (b_1,b_2) $	$ (c_3,a_4) $	$ (z_1,c_3) $	$ (b_2,b_1) $	$ 52 $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 9. Theorem 3.6 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ r_{A_{4}} $	$ r_{B_{4}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $	$ (0,\omega) $	$ (\omega,\omega) $	$ (\omega,1) $	$ (1,1) $	$ (\omega,1) $	$ (1,1) $	$ (0,\omega) $	$ (\omega,\omega) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_3 $	$ (\omega,0) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega,0) $	$ [32,16,8]_{I} $	$ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_4 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (1,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (1,1) $	$ (0,\omega) $	$ (0,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $
$ C_5 $	$ (0,0) $	$ (0,\omega) $	$ (\omega+1,0) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (\omega+1,\omega+1) $	$ (\omega+1,0) $	$ (0,\omega) $	$ (0,0) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_6 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (\omega,0) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega,1) $	$ (\omega,0) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^6 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 10. The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images

code		$ r_{A_1} $	$ r_{B_1} $	$ r_{A_2} $	$ r_{B_2} $	$ r_{A_3} $	$ r_{B_3} $	$ r_{A_4} $	$ r_{B_4} $	$ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $	$ \|Aut(C)\| $
$ L_{1} $	$ C_6 $	$ (z_2,a_1) $	$ (z_2,a_1) $	$ (b_1,z_4) $	$ (b_1,a_2) $	$ (b_1,a_2) $	$ (b_1,z_4) $	$ (z_2,a_1) $	$ (z_2,a_1) $	$ 0 $	$ 2^6 $
$ L_{2} $	$ C_6 $	$ (z_4,a_3) $	$ (z_4,a_3) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,z_1) $	$ (z_4,a_3) $	$ (z_4,a_3) $	$ 4 $	$ 2^5 $
$ L_{3} $	$ C_4 $	$ (z_2,z_4) $	$ (z_2,b_2) $	$ (a_1,a_2) $	$ (a_1,b_1) $	$ (a_1,b_1) $	$ (a_1,a_2) $	$ (z_2,b_2) $	$ (z_2,z_4) $	$ 8 $	$ 2^5 $
$ L_{4} $	$ C_6 $	$ (z_3,a_1) $	$ (z_3,a_1) $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,z_1) $	$ (z_3,a_1) $	$ (z_3,a_1) $	$ 12 $	$ 2^5 $
$ L_{5} $	$ C_5 $	$ (z_2,z_3) $	$ (z_2,b_1) $	$ (c_1,z_4) $	$ (c_1,c_3) $	$ (c_1,c_3) $	$ (c_1,z_4) $	$ (z_2,b_1) $	$ (z_2,z_3) $	$ 16 $	$ 2^4 $
$ L_6 $	$ C_3 $	$ (b_2,z_3) $	$ (b_2,a_2) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_2,a_2) $	$ (b_2,z_3) $	$ 20 $	$ 2^4 $
$ L_7 $	$ C_3 $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_1) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_2,a_1) $	$ (b_2,z_1) $	$ 24 $	$ 2^4 $
$ L_{8} $	$ C_4 $	$ (z_1,z_3) $	$ (z_1,b_1) $	$ (a_3,a_4) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_3,b_2) $	$ (a_3,a_4) $	$ (z_1,b_1) $	$ (z_1,z_3) $	$ 24 $	$ 2^5 $
$ L_9 $	$ C_3 $	$ (b_1,z_2) $	$ (b_1,a_1) $	$ (b_2,c_2) $	$ (b_2,c_3) $	$ (b_2,c_3) $	$ (b_2,c_2) $	$ (b_1,a_1) $	$ (b_1,z_2) $	$ 28 $	$ 2^4 $
$ L_{10} $	$ C_3 $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,z_1) $	$ 28 $	$ 2^5 $
$ L_{11} $	$ C_3 $	$ (b_1,z_4) $	$ (b_1,a_1) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_2,c_3) $	$ (b_2,c_3) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_1,a_1) $	$ (b_1,z_4) $	$ 32 $	$ 2^4 $
$ L_{12} $	$ C_4 $	$ (z_3,z_1) $	$ (z_3,b_1) $	$ (a_3,a_4) $	$ (a_3,b_1) $	$ (a_3,b_1) $	$ (a_3,a_4) $	$ (z_3,b_1) $	$ (z_3,z_1) $	$ 40 $	$ 2^5 $
$ L_{13} $	$ C_3 $	$ (b_1,z_2) $	$ (b_1,a_3) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_2,c_1) $	$ (b_1,a_3) $	$ (b_1,z_2) $	$ 44 $	$ 2^5 $
$ L_{14} $	$ C_3 $	$ (b_1,z_4) $	$ (b_1,a_2) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_1,a_2) $	$ (b_1,z_4) $	$ 48 $	$ 2^4 $
$ L_{15} $	$ C_3 $	$ (b_2,z_1) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_2,a_4) $	$ (b_2,z_1) $	$ 52 $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 11. Theorem 3.7 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (1,1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (1,1) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_2 $	$ (0,0) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $
$ C_3 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (\omega,\omega) $	$ (\omega,\omega) $	$ (0,1) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^83 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 12. Theorem 3.8 over $ \mathbb{F}_4 $

$ C_i $	$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \psi_{\mathbb{F}_4}(C) $	$ \|Aut(C)\| $
$ C_1 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^{15}3^25 \cdot 7 $
$ C_2 $	$ (\omega, \omega+1) $	$ (\omega, \omega+1) $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ [32,16,8]_{I} $	$ 2^{12}3 \cdot 7 $
$ C_3 $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega+1) $	$ (1,\omega) $	$ [32,16,8]_{II} $	$ 2^93^25 $
$ C_4 $	$ (0,1) $	$ (0,1) $	$ (0,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (1,\omega) $	$ (0,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^6 $
$ C_5 $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (\omega,\omega+1) $	$ (0,\omega) $	$ (0,\omega+1) $	$ (0,\omega+1) $	$ (0,\omega) $	$ [32,16,6]_{I} $	$ 2^93^25 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 13. The $ \mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4 $-lifts of $ C_i $ and the $ \beta $ values of the binary images

code		$ r_{A_{1}} $	$ r_{B_{1}} $	$ r_{A_{2}} $	$ r_{B_{2}} $	$ r_{A_{3}} $	$ r_{B_{3}} $	$ \beta \ \text{in} \ W_{64,2} $	$ \|Aut(C)\| $
$ M_1 $	$ C_2 $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (z_2,b_1) $	$ (a_2,b_4) $	$ (a_2,b_4) $	$ (z_2,b_1) $	$ 0 $	$ 2^5 $
$ M_{2} $	$ C_2 $	$ (b_2,c_2) $	$ (b_2,c_2) $	$ (z_2,b_1) $	$ (a_2,b_4) $	$ (a_2,b_4) $	$ (z_2,b_1) $	$ 0 $	$ 2^6 $
$ M_{3} $	$ C_3 $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_1,c_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ (a_1,c_4) $	$ (a_1,c_4) $	$ (a_1,b_2) $	$ 4 $	$ 2^5 $
$ M_4 $	$ C_2 $	$ (b_1,c_4) $	$ (b_1,c_4) $	$ (z_4,b_1) $	$ (a_3,b_4) $	$ (a_3,b_4) $	$ (z_4,b_1) $	$ 12 $	$ 2^5 $
$ M_{5} $	$ C_3 $	$ (b_2,c_2) $	$ (b_2,c_2) $	$ (a_1,b_3) $	$ (a_2,c_4) $	$ (a_2,c_4) $	$ (a_1,b_3) $	$ 16 $	$ 2^5 $
$ M_6 $	$ C_1 $	$ (z_2,a_3) $	$ (z_2,a_3) $	$ (a_1,b_2) $	$ (a_4,c_1) $	$ (a_4,c_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ 20 $	$ 2^5 $
$ M_7 $	$ C_1 $	$ (z_2,a_3) $	$ (z_2,a_3) $	$ (a_1,b_3) $	$ (a_3,c_4) $	$ (a_3,c_4) $	$ (a_1,b_3) $	$ 24 $	$ 2^5 $
$ M_8 $	$ C_2 $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_4,b_2) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 28 $	$ 2^5 $
$ M_{9} $	$ C_3 $	$ (b_1,c_1) $	$ (b_1,c_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ (a_2,c_3) $	$ (a_2,c_3) $	$ (a_1,b_2) $	$ 32 $	$ 2^6 $
$ M_{10} $	$ C_2 $	$ (b_1,c_4) $	$ (b_1,c_4) $	$ (z_3,b_2) $	$ (a_4,b_3) $	$ (a_4,b_3) $	$ (z_3,b_2) $	$ 36 $	$ 2^5 $
$ M_{11} $	$ C_2 $	$ (b_1,c_2) $	$ (b_1,c_2) $	$ (z_4,b_1) $	$ (a_1,b_2) $	$ (a_1,b_2) $	$ (z_4,b_1) $	$ 44 $	$ 2^5 $
$ M_{12} $	$ C_2 $	$ (b_2,c_4) $	$ (b_2,c_4) $	$ (z_4,b_1) $	$ (a_2,b_1) $	$ (a_2,b_1) $	$ (z_4,b_1) $	$ 48 $	$ 2^5 $
$ M_{13} $	$ C_2 $	$ (b_1,c_3) $	$ (b_1,c_3) $	$ (z_1,b_2) $	$ (a_4,b_2) $	$ (a_4,b_2) $	$ (z_1,b_2) $	$ 52 $	$ 2^5 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 14. New codes of length 68 from Theorem 5.1

$ D $	$ C $	$ (x_{17},x_{18},\dots ,x_{32}) $	$ c $	$ \gamma $	$ \beta \ \text{in}\ W_{68,2} $
$ C_{68,1} $	$ I_{2} $	$ (u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0) $	$ u+1 $	$ 0 $	$ 38 $
$ C_{68,2} $	$ K_{3} $	$ (3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3) $	$ 1 $	$ 1 $	$ 38 $
$ C_{68,3} $	$ K_{3} $	$ (3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3) $	$ 1 $	$ 1 $	$ 46 $
$ C_{68,4} $	$ K_{2} $	$ (u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3) $	$ u+1 $	$ 2 $	$ 67 $
$ C_{68,5} $	$ K_{1} $	$ (0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1) $	$ u+1 $	$ 3 $	$ 77 $
$ C_{68,6} $	$ K_{1} $	$ (1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3) $	$ u+1 $	$ 3 $	$ 78 $
$ C_{68,7} $	$ I_{1} $	$ (1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0) $	$ 1 $	$ 3 $	$ 81 $
$ C_{68,8} $	$ K_{23} $	$ (0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u) $	$ u+1 $	$ 3 $	$ 179 $
$ C_{68,9} $	$ K_{3} $	$ (1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u) $	$ 1 $	$ 4 $	$ 92 $
$ C_{68,10} $	$ K_{3} $	$ (u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u) $	$ 1 $	$ 4 $	$ 94 $
$ C_{68,11} $	$ K_{4} $	$ (1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1) $	$ 1 $	$ 4 $	$ 119 $

| Show Table

DownLoad: CSV

Table 15. New codes of length 68 as neighbors

$ D $	$ C $	$ x $	$ \gamma $	$ \beta $
$ C_{68,12} $	$ C_{68,11} $	$ \left( 1010110101000110000001111110000011\right) $	4	107
$ C_{68,13} $	$ C_{68,10} $	$ \left( 1011111011101111011000100111110111\right) $	4	115

| Show Table

DownLoad: CSV

Article Metrics

HTML views(957) PDF downloads(503) Cited by(0)

[1]	W. Bosma, J. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265. doi: 10.1006/jsco.1996.0125.
[2]	J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333. doi: 10.1109/18.59931.
[3]	S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2.
[4]	S. T. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45. doi: 10.1109/18.746770.
[5]	S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8.
[6]	S. T. Dougherty, J. Gildea, R. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138. doi: 10.1007/s10623-017-0440-7.
[7]	S. T. Dougherty, T. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047. doi: 10.1109/18.641574.
[8]	S. T. Dougherty, J.-L. Kim, H. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26. doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004.
[9]	S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban, A. Kaya, A. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127. doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004.
[10]	S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1.
[11]	P. Gaborit, V. Pless, P. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183. doi: 10.1006/ffta.2001.0333.
[12]	J. Gildea, A. Kaya, R. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92. doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002.
[13]	T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335.
[14]	A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469. doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010.
[15]	S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997. doi: 10.1006/eujc.2001.0509.
[16]	E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139. doi: 10.1109/18.651000.

Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

Abstract

References

Access History

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors

Catalog

Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

Abstract

References

Access History

SHARE

Article Metrics

Access History

Other Articles By Authors

Catalog

Export File

Citation

Format

Content