Article Contents
Article Contents

# Composite constructions of self-dual codes from group rings and new extremal self-dual binary codes of length 68

• * Corresponding author: Adrian Korban
• We describe eight composite constructions from group rings where the orders of the groups are 4 and 8, which are then applied to find self-dual codes of length 16 over $\mathbb{F}_4$. These codes have binary images with parameters $[32,16,8]$ or $[32,16,6]$. These are lifted to codes over $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$, to obtain codes with Gray images of extremal self-dual binary codes of length 64. Finally, we use a building-up method over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$ to obtain new extremal binary self-dual codes of length 68. We construct 11 new codes via the building-up method and 2 new codes by considering possible neighbors.

Mathematics Subject Classification: Primary: 58F15, 58F17; Secondary: 53C35.

 Citation:

• Table 1.  Theorem 3.1 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,0)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_4$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^9 3^25$ $C_5$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,0)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^73$ $C_6$ $(0,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(0,1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^{11}3$

Table 2.  The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images

 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $I_{1}$ $C_5$ $(z_4,a_3)$ $(b_1,c_2)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,b_1)$ $(b_1,z_3)$ $(a_1,b_2)$ $8$ $2^4$ $I_{2}$ $C_5$ $(z_3,a_1)$ $(b_3,c_1)$ $(z_2,a_3)$ $(b_4,b_3)$ $(b_3,z_2)$ $(a_3,b_4)$ $8$ $2^5$ $I_3$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_2,c_2)$ $(z_4,z_2)$ $(c_1,b_1)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,c_1)$ $12$ $2^4$ $I_4$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_2,z_4)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_1)$ $24$ $2^4$ $I_5$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_2)$ $(z_4,c_2)$ $24$ $2^5$ $I_6$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,c_3)$ $(z_4,z_2)$ $(c_2,b_2)$ $(b_2,z_4)$ $(z_2,c_2)$ $28$ $2^4$ $I_7$ $C_2$ $(z_1,b_1)$ $(a_4,c_4)$ $(z_2,z_3)$ $(c_2,b_1)$ $(b_1,z_2)$ $(z_3,c_2)$ $32$ $2^5$ $I_8$ $C_2$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_4)$ $(b_4,z_3)$ $(z_4,c_2)$ $32$ $2^6$ $I_{9}$ $C_5$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,a_1)$ $(b_4,b_4)$ $(b_4,z_4)$ $(a_1,b_4)$ $40$ $2^5$

Table 3.  Theorem 3.2 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_6$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$

Table 4.  The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images

 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_B{_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $J_1$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(a_1,z_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $0$ $2^6$ $J_2$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(a_3,z_4)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $J_3$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $12$ $2^5$ $J_4$ $C_2$ $(z_4,a_1)$ $(a_1,z_4)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,c_2)$ $(c_2,a_3)$ $(b_4,a_3)$ $24$ $2^5$ $J_5$ $C_3$ $(b_1,c_2)$ $(c_2,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $J_6$ $C_3$ $(b_2,c_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $44$ $2^5$ $J_7$ $C_3$ $(b_2,c_4)$ $(c_4,b_2)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $J_8$ $C_3$ $(b_1,c_3)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$

Table 5.  Theorem 3.3 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$

Table 6.  Theorem 3.4 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $\psi_{ \mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega+1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$

Table 7.  Theorem 3.5 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^53 \cdot 5 \cdot 31$ $C_3$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega+1,1)$ $(1,1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_4$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega+1,1)$ $(0,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_7$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,0)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,0)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_{8}$ $(0,0)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^33$ $C_{9}$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^5$

Table 8.  The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images

 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $K_{1}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(a_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,c_4)$ $(z_2,c_4)$ $(c_1,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $0$ $2^5$ $K_{2}$ $C_3$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $(c_2,a_2)$ $(a_3,a_2)$ $(c_2,z_2)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^4$ $K_{3}$ $C_{9}$ $(z_1,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $0$ $2^5$ $K_{4}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,z_3)$ $(b_2,a_4)$ $(a_1,a_4)$ $(b_2,z_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $0$ $2^4$ $K_{5}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_2)$ $(c_2,b_4)$ $(b_2,b_4)$ $(c_2a_2)$ $(z_2,c_2)$ $(b_1,b_2)$ $0$ $2^6$ $K_{6}$ $C_4$ $(z_2,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,a_1)$ $(c_1,b_2)$ $(b_2,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(z_2,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $4$ $2^4$ $K_{7}$ $C_7$ $(z_4,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_4)$ $(b_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(b_4,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $4$ $2^5$ $K_8$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_1)$ $(z_1,b_1)$ $(z_3,z_2)$ $8$ $2^5$ $K_{9}$ $C_1$ $(z_2,z_4)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_2,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_2,a_3)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_4)$ $8$ $2^4$ $K_{10}$ $C_2$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(c_4,c_3)$ $(z_2,c_3)$ $(c_4,b_1)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,z_2)$ $12$ $2^4$ $K_{11}$ $C_4$ $(z_4,b_1)$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(b_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_1)$ $12$ $2^5$ $K_{12}$ $C_1$ $(z_1,z_1)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_4)$ $(c_1,b_4)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_1)$ $16$ $2^6$ $K_{13}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_3)$ $16$ $2^4$ $K_{14}$ $C_1$ $(z_1,z_3)$ $(z_3,b_2)$ $(c_2,a_1)$ $(c_3,b_3)$ $(c_2,b_3)$ $(c_3,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_3)$ $16$ $2^5$ $K_{15}$ $C_2$ $(z_2,z_2)$ $(a_1,b_1)$ $(z_3,b_1)$ $(c_2,c_4)$ $(z_3,z_4)$ $(c_2,b_1)$ $(z_2,b_1)$ $(a_1,z_2)$ $20$ $2^4$ $K_{16}$ $C_3$ $(z_2,a_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,z_2)$ $(c_4,a_4)$ $(a_3,a_4)$ $(c_4,z_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_3,a_1)$ $20$ $2^5$ $K_{17}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_3)$ $(c_4,b_2)$ $(c_1,b_2)$ $(c_4,a_3)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^5$ $K_{18}$ $C_1$ $(z_2,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_2,b_1)$ $(c_1,b_1)$ $(c_2,a_1)$ $(z_2,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $24$ $2^4$ $K_{19}$ $C_2$ $(z_2,z_1)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_2)$ $(c_1,c_3)$ $(z_4,c_3)$ $(c_1,b_2)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,z_1)$ $28$ $2^4$ $K_{20}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_4)$ $(c_2,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_2,a_4)$ $(z_1,c_2)$ $(b_2,b_1)$ $28$ $2^5$ $K_{21}$ $C_1$ $(z_1,z_2)$ $(z_3,b_2)$ $(c_1,a_1)$ $(c_4,b_3)$ $(z_1,b_3)$ $(a_4,a_1)$ $(z_1,b_2)$ $(z_3,z_2)$ $32$ $2^5$ $K_{22}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(c_3,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_3,a_1)$ $(z_4,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $32$ $2^4$ $K_{23}$ $C_7$ $(z_1,z_1)$ $(a_3,b_2)$ $(a_1,z_4)$ $(b_1,a_3)$ $(a_1,a_3)$ $(b_1,z_4)$ $(z_1,b_2)$ $(a_3,z_1)$ $36$ $2^4$ $K_{24}$ $C_4$ $(z_3,b_1)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_4)$ $(c_4,b_3)$ $(b_1,b_3)$ $(c_4,a_4)$ $(z_3,c_4)$ $(b_2,b_1)$ $36$ $2^5$ $K_{25}$ $C_5$ $(z_1,z_4)$ $(z_4,b_2)$ $(a_1,z_2)$ $(a_2,c_1)$ $(a_1,c_1)$ $(a_2,z_2)$ $(z_1,b_2)$ $(z_4,z_4)$ $40$ $2^5$ $K_{26}$ $C_2$ $(z_4,z_1)$ $(a_1,b_1)$ $(z_1,b_2)$ $(c_2,c_1)$ $(z_1,c_1)$ $(c_2,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,z_1)$ $44$ $2^43$ $K_{27}$ $C_4$ $(z_2,b_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_3)$ $(c_1,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_1,a_3)$ $(z_2,c_1)$ $(b_1,b_2)$ $44$ $2^5$ $K_{28}$ $C_4$ $(z_4,b_2)$ $(b_1,c_4)$ $(b_2,a_2)$ $(c_4,b_1)$ $(b_2,b_1)$ $(c_4,a_2)$ $(z_4,c_4)$ $(b_1,b_2)$ $48$ $2^5$ $K_{29}$ $C_4$ $(z_1,b_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_1,a_4)$ $(c_3,b_2)$ $(b_1,b_2)$ $(c_3,a_4)$ $(z_1,c_3)$ $(b_2,b_1)$ $52$ $2^5$

Table 9.  Theorem 3.6 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $r_{A_{4}}$ $r_{B_{4}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(\omega,1)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_3$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_4$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(1,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,1)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$ $C_5$ $(0,0)$ $(0,\omega)$ $(\omega+1,0)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,\omega+1)$ $(\omega+1,0)$ $(0,\omega)$ $(0,0)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_6$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,0)$ $(\omega,1)$ $(\omega,1)$ $(\omega,0)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$

Table 10.  The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images

 code $r_{A_1}$ $r_{B_1}$ $r_{A_2}$ $r_{B_2}$ $r_{A_3}$ $r_{B_3}$ $r_{A_4}$ $r_{B_4}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $L_{1}$ $C_6$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $(z_2,a_1)$ $(z_2,a_1)$ $0$ $2^6$ $L_{2}$ $C_6$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_4,a_3)$ $(z_4,a_3)$ $4$ $2^5$ $L_{3}$ $C_4$ $(z_2,z_4)$ $(z_2,b_2)$ $(a_1,a_2)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,b_1)$ $(a_1,a_2)$ $(z_2,b_2)$ $(z_2,z_4)$ $8$ $2^5$ $L_{4}$ $C_6$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $(z_3,a_1)$ $(z_3,a_1)$ $12$ $2^5$ $L_{5}$ $C_5$ $(z_2,z_3)$ $(z_2,b_1)$ $(c_1,z_4)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,c_3)$ $(c_1,z_4)$ $(z_2,b_1)$ $(z_2,z_3)$ $16$ $2^4$ $L_6$ $C_3$ $(b_2,z_3)$ $(b_2,a_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_2)$ $(b_2,z_3)$ $20$ $2^4$ $L_7$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_1)$ $(b_2,a_1)$ $(b_2,z_1)$ $24$ $2^4$ $L_{8}$ $C_4$ $(z_1,z_3)$ $(z_1,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,b_2)$ $(a_3,a_4)$ $(z_1,b_1)$ $(z_1,z_3)$ $24$ $2^5$ $L_9$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_2)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_2)$ $28$ $2^4$ $L_{10}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $28$ $2^5$ $L_{11}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_1)$ $(b_1,z_4)$ $32$ $2^4$ $L_{12}$ $C_4$ $(z_3,z_1)$ $(z_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,b_1)$ $(a_3,a_4)$ $(z_3,b_1)$ $(z_3,z_1)$ $40$ $2^5$ $L_{13}$ $C_3$ $(b_1,z_2)$ $(b_1,a_3)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_2,c_1)$ $(b_1,a_3)$ $(b_1,z_2)$ $44$ $2^5$ $L_{14}$ $C_3$ $(b_1,z_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(b_1,a_2)$ $(b_1,z_4)$ $48$ $2^4$ $L_{15}$ $C_3$ $(b_2,z_1)$ $(b_2,a_4)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(b_2,a_4)$ $(b_2,z_1)$ $52$ $2^5$

Table 11.  Theorem 3.7 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,1)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_2$ $(0,0)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$ $C_3$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(\omega,\omega)$ $(\omega,\omega)$ $(0,1)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^83$

Table 12.  Theorem 3.8 over $\mathbb{F}_4$

 $C_i$ $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\psi_{\mathbb{F}_4}(C)$ $|Aut(C)|$ $C_1$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^{15}3^25 \cdot 7$ $C_2$ $(\omega, \omega+1)$ $(\omega, \omega+1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,8]_{I}$ $2^{12}3 \cdot 7$ $C_3$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega+1)$ $(1,\omega)$ $[32,16,8]_{II}$ $2^93^25$ $C_4$ $(0,1)$ $(0,1)$ $(0,\omega)$ $(1,\omega)$ $(1,\omega)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^6$ $C_5$ $(\omega,\omega+1)$ $(\omega,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega+1)$ $(0,\omega)$ $[32,16,6]_{I}$ $2^93^25$

Table 13.  The $\mathbb{F}_4+u\mathbb{F}_4$-lifts of $C_i$ and the $\beta$ values of the binary images

 code $r_{A_{1}}$ $r_{B_{1}}$ $r_{A_{2}}$ $r_{B_{2}}$ $r_{A_{3}}$ $r_{B_{3}}$ $\beta \ \text{in} \ W_{64,2}$ $|Aut(C)|$ $M_1$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^5$ $M_{2}$ $C_2$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(z_2,b_1)$ $(a_2,b_4)$ $(a_2,b_4)$ $(z_2,b_1)$ $0$ $2^6$ $M_{3}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,c_4)$ $(a_1,b_2)$ $4$ $2^5$ $M_4$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_3,b_4)$ $(a_3,b_4)$ $(z_4,b_1)$ $12$ $2^5$ $M_{5}$ $C_3$ $(b_2,c_2)$ $(b_2,c_2)$ $(a_1,b_3)$ $(a_2,c_4)$ $(a_2,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $16$ $2^5$ $M_6$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_2)$ $(a_4,c_1)$ $(a_4,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $20$ $2^5$ $M_7$ $C_1$ $(z_2,a_3)$ $(z_2,a_3)$ $(a_1,b_3)$ $(a_3,c_4)$ $(a_3,c_4)$ $(a_1,b_3)$ $24$ $2^5$ $M_8$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $28$ $2^5$ $M_{9}$ $C_3$ $(b_1,c_1)$ $(b_1,c_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_2,c_3)$ $(a_2,c_3)$ $(a_1,b_2)$ $32$ $2^6$ $M_{10}$ $C_2$ $(b_1,c_4)$ $(b_1,c_4)$ $(z_3,b_2)$ $(a_4,b_3)$ $(a_4,b_3)$ $(z_3,b_2)$ $36$ $2^5$ $M_{11}$ $C_2$ $(b_1,c_2)$ $(b_1,c_2)$ $(z_4,b_1)$ $(a_1,b_2)$ $(a_1,b_2)$ $(z_4,b_1)$ $44$ $2^5$ $M_{12}$ $C_2$ $(b_2,c_4)$ $(b_2,c_4)$ $(z_4,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(a_2,b_1)$ $(z_4,b_1)$ $48$ $2^5$ $M_{13}$ $C_2$ $(b_1,c_3)$ $(b_1,c_3)$ $(z_1,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(a_4,b_2)$ $(z_1,b_2)$ $52$ $2^5$

Table 14.  New codes of length 68 from Theorem 5.1

 $D$ $C$ $(x_{17},x_{18},\dots ,x_{32})$ $c$ $\gamma$ $\beta \ \text{in}\ W_{68,2}$ $C_{68,1}$ $I_{2}$ $(u,0,0,3,u,1,3,u,3,3,1,1,3,0,1,0)$ $u+1$ $0$ $38$ $C_{68,2}$ $K_{3}$ $(3,1,1,3,u,u,0,u,0,0,0,3,1,1,1,3)$ $1$ $1$ $38$ $C_{68,3}$ $K_{3}$ $(3,3,1,1,0,u,0,u,0,u,0,3,1,1,3,3)$ $1$ $1$ $46$ $C_{68,4}$ $K_{2}$ $(u,1,u,u,1,3,3,3,u,1,1,u,u,0,3,3)$ $u+1$ $2$ $67$ $C_{68,5}$ $K_{1}$ $(0,0,1,0,1,3,u,3,u,0,u,0,3,0,3,1)$ $u+1$ $3$ $77$ $C_{68,6}$ $K_{1}$ $(1,1,0,3,0,u,u,u,1,1,1,0,1,3,0,3)$ $u+1$ $3$ $78$ $C_{68,7}$ $I_{1}$ $(1,3,1,3,1,0,1,0,1,3,1,3,u,1,0,0)$ $1$ $3$ $81$ $C_{68,8}$ $K_{23}$ $(0,u,1,1,u,3,0,1,0,1,1,3,u,1,3,u)$ $u+1$ $3$ $179$ $C_{68,9}$ $K_{3}$ $(1,0,0,3,u,3,u,3,1,3,3,3,1,1,1,u)$ $1$ $4$ $92$ $C_{68,10}$ $K_{3}$ $(u,u,3,3,1,1,1,1,3,0,3,3,1,1,0,u)$ $1$ $4$ $94$ $C_{68,11}$ $K_{4}$ $(1,u,1,0,u,u,1,u,1,1,0,u,u,u,1,1)$ $1$ $4$ $119$

Table 15.  New codes of length 68 as neighbors

 $D$ $C$ $x$ $\gamma$ $\beta$ $C_{68,12}$ $C_{68,11}$ $\left( 1010110101000110000001111110000011\right)$ 4 107 $C_{68,13}$ $C_{68,10}$ $\left( 1011111011101111011000100111110111\right)$ 4 115
•  [1] W. Bosma, J. Cannon and C. Playoust, The Magma algebra system Ⅰ: The user language, J. Symbolic Comput., 24 (1997), 235-265.  doi: 10.1006/jsco.1996.0125. [2] J. H. Conway and N. J. A. Solane, A new upper bound on the minimal distance of self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 36 (1990), 1319-1333.  doi: 10.1109/18.59931. [3] S. T. Dougherty, Algebraic Coding Theory Over Finite Commutative Rings, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2017. doi: 10.1007/978-3-319-59806-2. [4] S. T. Dougherty, P. Gaborit, M. Harada and P. Sole, Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_2+u\mathbb{F}_2$, IEEE Trans. Inform. Theory, 45 (1999), 32-45.  doi: 10.1109/18.746770. [5] S. T. Dougherty, J. Gildea and A. Kaya, Quadruple bordered constructions of self-dual codes from group rings over Frobenius rings, Cryptogr. Commun., (2019), 1–20. doi: 10.1007/s12095-019-00380-8. [6] S. T. Dougherty, J. Gildea, R. Taylor and A. Tylshchak, Group rings, $G$-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes, Des. Codes Cryptogr., 86 (2018), 2115-2138.  doi: 10.1007/s10623-017-0440-7. [7] S. T. Dougherty, T. A. Gulliver and M. Harada, Extremal binary self dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 43 (1997), 2036-2047.  doi: 10.1109/18.641574. [8] S. T. Dougherty, J.-L. Kim, H. Kulosman and H. Liu, Self-dual codes over commutative Frobenius rings, Finite Fields Appl., 16 (2010), 14-26.  doi: 10.1016/j.ffa.2009.11.004. [9] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban, A. Kaya, A. Tylyshchak and B. Yildiz, Bordered constructions of self-dual codes from group rings and new extremal binary self-dual code, Finite Fields Appl., 57 (2019), 108-127.  doi: 10.1016/j.ffa.2019.02.004. [10] S. T. Dougherty, J. Gildea, A. Korban and A. Kaya, Binary generator matrices for extremal binary self-dual codes of length $68$, Available from: http://abidinkaya.wixsite.com/math/adrian1. [11] P. Gaborit, V. Pless, P. Sole and O. Atkin, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4$", Finite Fields Appl., 8 (2002), 171-183.  doi: 10.1006/ffta.2001.0333. [12] J. Gildea, A. Kaya, R. Taylor and B. Yildiz, Constructions for self-dual codes induced from group rings, Finite Fields Appl., 51 (2018), 71-92.  doi: 10.1016/j.ffa.2018.01.002. [13] T. Hurley, Group rings and rings of matrices, Int. J. Pure Appl. Math., 31 (2006), 319-335. [14] A. Kaya and B. Yildiz, Various constructions for self-dual codes over rings and new binary self-dual codes, Discrete Math., 339 (2016), 460-469.  doi: 10.1016/j.disc.2015.09.010. [15] S. Ling and P. Sole, "Type Ⅱ codes over $\mathbb{F}_4+u \mathbb{F}_4$", European J. Combin., 22 (2001), 983-997.  doi: 10.1006/eujc.2001.0509. [16] E. M. Rains, Shadow bounds for self-dual codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 44 (1998), 134-139.  doi: 10.1109/18.651000.

Tables(15)